Tipos de funciones.
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Tipos de Función |
Recapitulemos sobre el tema Funciones:
Intuitivamente, la palabra función se refiere a una correspondencia de un conjunto con otro. Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes (X) y un conjunto de edades (Y), en que a cada estudiante le corresponde un número que es su edad en años.
Estudiante (Conjunto X)
Origen |
Edad (Conjunto Y)
Imagen f(x) |
José
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19
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María
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18
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Manuel
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21
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Soledad
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18
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Alberto
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20
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En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo de asociación se le llama función.
Recordemos la definición:
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamadocodominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman elrecorrido, rango o ámbito).
De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.
En el ejemplo anterior el dominio es {José, María, Manuel, Soledad, Alberto} y el recorrido es {18, 19, 20, 21}.
La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.
Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagen de x bajo la función f. En el ejemplo anterior f(Soledad) = 18, f(Manuel) = 21. También se conoce la imagen como el valor de la función f en x.
Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de valores (como el ejemplo anterior), mediante unaexpresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica.
Tipos de funciones
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Función constante
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.
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Función lineal
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
f(x) = 2x − 1
es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.
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| f(x) = 2x − 1 |
En general, una función lineal es de la forma
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| f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente). |
Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 27_2010
Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.
La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces
y = ax + b
Donde “a” es la pendiente de la recta, y “b” es la ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.
El valor de “a” siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma
La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.
La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)
Representación gráfica de una función lineal o función afín
Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:
1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.
2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de “p” y avanzo o retrocedo según indique el valor de “q”. En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.
Ejemplo:
Graficar la siguiente función:
La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.
De ahí subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.
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También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.
Ejemplo
Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1
Solución
Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:
Si x = 0, se tiene que f(0) = 2(0) – 1 = − 1
Si x = 2, se tiene que f(2) = 2(2) – 1 = 3
Así, los puntos obtenidos son (0, −1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.
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Veamos ahora el proceso inverso; o sea, si tenemos la gráfica de una función queremos encontrar su expresión analítica o matemática.
Para eso, necesitamos encontrar una expresión de la forma f(x) = ax + b a partir de la gráfica.
Por ejemplo, a partir de la siguiente gráfica, vamos a calcular su expresión matemática.
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La imagen de 0 es b porque f(0) = a(0) + b = b luego b = –3
Tomamos otro punto, por ejemplo, el (2, 1); el 1 es la imagen del 2 luego se cumple que:
1 = a(2) + b → 1 = 2a – 3 → 4 = 2a → a = 2
Nuestra recta será: f(x) = 2x – 3
Ver. PSU: Matemática;
Función polinómica
Una función f es una función polinómica si,f(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
donde a0, a1,...,an son números reales y los exponentes son enteros positivos.
Ejemplos:
f(x) = x2 − 2x − 3;
g(x) = 5x + 1;
h(x) = x3
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).
Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
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| f(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0). |
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 18_2006
Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:
para los polinomios f(x) y g(x).
Ejemplos:
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).
Función de potencia
Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia
Ver, además Función raíz cuadrada
Ejercicios y ejemplos con funciones en general:
Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:
a) Su cuádruplo.
La función es: f (x) = 4x.
b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: f (x) = x + 2.
c) Su mitad menos 1.
La función es: f (x) = x/2 − 1.
d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: f (x) = (x − 1)2
Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:
donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.
Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.
2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:
Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.
3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2
Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.
Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2
f(2) = 5(2)2 + 2
f(2) = 22
por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f(2) = 22.
Un problema resuelto
El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.
a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.
b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?
c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?
Veamos:
a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.
b) x = 50 entonces
f (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares.
c) f (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.
Álgebra de funciones
Suma, resta, multiplicación y división de funciones
Sean f y g dos funciones cualesquiera.
Se define 
como
como
Ejemplos:
Suma de funciones
Sean las funciones
Resta de funciones
Producto de funciones
Sean las funciones
División de funciones
Sean las funciones
Nótese que hemos factorizado por (x − 1)
Ejemplo para practicar:
Sean f(x) = 3x3 + 7 y g(x) = x2 – 1. Hallar la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones.
Fuentes Internet:
Ver. Además, en Internet:
Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540
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